玩数学

要讲双曲线了，怎么讲？想啊！想！走路都在想！上网一搜，嘿，＜悲伤的双曲线＞，您听过吗？

好了，就从这个开始．

如果我是双曲线，你就是那渐近线 
如果我是反比例函数，你就是那坐标轴 
虽然我们有缘，能够生在同一个平面 
然而我们又无缘，慢慢长路无交点 
为何看不见，等式成立要条件 
难到正如书上说的，无限接近不能达到 
为何看不见，明月也有阴晴圆缺，此事古难全， 
但愿千里共婵娟. 

课堂教学实录

空间中两直线的位置关系

（注：最近，应邀请到外地给某新课程培训上研讨课，这是课堂教学实录，是借班（外地）上课。上课之前，没有与学生有任何接触，也没有布置预习。按课堂录音整理，请各位拍砖！）

师：同学们，喜欢学习《立体几何初步》这个模块吗？

学生：喜欢！

师：为什么？

学生：可以动手制作模型！（部分学生回答：可以参照周围的物体。）

师：我们今天要讲的内容有没有进行预习？

生：没有！（异口同声）

师：太好了，一片空白，正好可以画最美丽的图画！（哄堂大笑，来观摩的教师也禁不住笑了。）

师：同学们，今天我们来研究空间两直线的位置关系，请各位先思考：按公共点个数来划分，空间中两直线的位置关系有哪些？

（这里强调“按公共点个数来划分”目的在于防止思维过于发散。）

生：相交、平行。

（能够说出另外一种位置关系的学生几乎没有）

师：请同学们利用手中的塑料棒来摆出你想象出的位置关系。

（教师巡视，发现绝大多数同学只能摆出平行与相交两种位置关系！）

师：会不会出现有别于平行和相交的位置关系呢？

（沉寂片刻，大多数同学恍然大悟。）

师：哪位同学来展示一下所发现的空间两直线的位置关系？

生1：（走上讲台，利用手中的塑料棒，依次摆出三种位置关系。）

师：显然，第三种位置关系与平行、相交不同，我们把这种位置关系称之为异面。

（板书三种位置关系：相交、平行、异面。）

师：请同学们按字面意思来理解“异面”的含义。

（学生议论纷纷，异面：不在同一个平面。）

师：请同学们摆出两直线异面的位置关系，然后思考，可否作出一个平面，使得这样的两直线在该平面上？）

生：摇头，表示不可能。

师：很明显，试图想把这样的两直线放在同一个平面内，今生今世不可能，来生也办不到。

所以，我们给出异面直线的准确定义：不同在任何一个平面内的两直线。（板书）

师：同学们，空间两直线如果按照公共点个数来划分，可以分两中情况：有且只有一个公共点（相交）、无公共点（平行或异面）。

师：举个例子，将人类进行分类，可以分为幼儿、少年、青年、壮年和老年，又可以分为男性和女性。那么空间两直线的位置关系还有没有其他的分类办法？

（学生能够体会到另外的分类，但是语言叙述不够简练。后来经过教师介入，明白可以分为共面、异面两种情况。）

师：下面请同学们画图来表示空间中的三种位置关系。

（教师巡视，对于两异面直线，绘图情况很糟糕！）

（请一位同学（生2）到黑板上绘制两异面直线的直观图，该同学只画了两条直线，延长以后有交点。）

师：你画的两条直线表示哪一种位置关系？

生2：异面直线！

师：但是，我左看右看，上看下看，怎么象两条相交直线呢？（边说边把两直线延长，得到交点。）

生2：老师，不对，我画的是两条异面直线！

师：可是，我坚持认为你画的是两条相交直线！

（同学们哄堂大笑，但是又没有办法帮他支招。）

师：看来，仅靠画两条直线来表示它们的异面关系是有问题的，怎么办？

（学生各个沉思，但是想不出好办法。）

师：为了直观的表示两直线的异面关系，我们可以用平面作为衬托。

（画出异面直线的直观图，同学们看后，恍然大悟，嘴巴不禁发出“噢”的声音。）

师：同学们，在初中我们学习的是平面几何，为什么叫“平面几何”？

生：同一个平面内的几何问题，所以叫“平面几何”！

师：很正确，下面我们先来看一个平面几何问题：

（绘出一个平面，在此平面内绘制三条直线。）

师：在平面几何中，如果两直线都与第三条直线平行，那么这两直线互相平行。这是一个地球人都知道的结论！请问，这个结论在空间中还正确吗？

生：（停顿片刻）正确！

师：请同桌相互合作，用塑料棒摆出模型。

（巡视，发现有一半的同学摆出的模型依然停留在同一个平面的层次。）

师：这三条直线一定在同一个平面内吗？

（经过教师提醒，全班同学都能摆出三条直线不共面的模型了。）

师：这就是公理4，哪位同学能用文字语言叙述一下？

生3：在空间中，平行于同一直线的两直线相互平行。

师：回答的非常好，语言精练！这是数学美的一种体现。

师：我们再看平面几何中的一个事实：一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角有什么关系？

（学生开始议论纷纷，在纸上绘图，生4将图形绘制在黑板上。全班同学很快达成共识：相等或互补。）

师：这个平面几何事实在空间中还成立吗？请同学们先想，有了一定的想法后，再做模型演示。

（学生异常活跃，纷纷和周围的同学讨论，并摆放模型。教师巡视，进行指点，但是把握分寸，没有轻易公布结论。）

（很快，有两位同学找到了答案，教师请生5、生6向全班同学展示模型，同学们纷纷模仿。）

（此时，生6似乎依然有想法，教师请其发言。）

生6：我有一个想法（猜想），平面几何中的结论在空间中都应该成立！

（这种想法在其他同学中得到共鸣，大多数同学表示赞同，也有少部分同学表示怀疑。）

师：很好！这位同学提出了一个猜想，这个猜想是否正确？一会我们继续研究。下面，我们对异面直线再进行一些探讨。

师：（摆出两条异面直线，并不断改变倾斜程度。）看来，同样是一面直线，在位置上也有一些区别，怎么来描述这种差别呢？下面请一位同学来配合我。

（生7摆出两异面直线，教师直接给出两异面直线所成角的定义。）

师：为了度量这位同学所摆出的两异面直线的倾斜程度，我们引入两异面直线所成的角。

（叙述的同时摆出模型）在空间任意找一点 ，过此点分别作与两异面直线平行的直线，这样就将异面转化成相交（共面）直线。两相交直线构成四个角，我们取其中不大于 的角，称为两异面直线所成的角。

师：请同学们思考，度量结果与点 的位置有关吗？

（这是一个比较抽象的问题，需要在教师的引导下进行再认识。）

师：下面，我摆出两异面直线 ，请各位同学在自己的附近找一个点，然后经过此点分别做两直线与 ，观察这两相交直线所成的不大于 的角，假如能够度量大小，那么你的答案和其他同学的答案是否一样？

（学生们开始讨论，不断交流。）

生7：应该一样！

师：为什么？

生7：（摸了摸脑袋），不知道怎么说。

师：理论根据就在我们刚刚探讨完的内容中，再仔细想一想。

生8：噢，就是刚才我们得出的定理：一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，因为我们只需要不大于 的角，所以同学们的答案应该是一样的。

师：其他同学同意这个解释吗？（从表情看，同意这种解释。）

师：这就是说，为了度量异面直线所成的角，空间的点 可以任意选取。但是我们经常选取一些比较特殊的点，比如选在其中一条直线上。（绘图示意）

师：下面，我们来解决刚才那位同学提出的猜想：平面几何中的结论在空间中都应该成立！先请同学们思考。

（学生开始热烈讨论，教师巡视，并进行指点。）

生9：老师，我想到在平面几何中的一个结论，就是两条直线均都垂直于第三条直线，那么这两直线相互平行。

师：那么这个结论在空间中是否成立呢？

（学生开始思考，接着动手摆模型，发现依然成立！）

师：请大家用直观图来表示刚才发现的结论，再用数学符号表示出来。

（一位同学在黑板上绘出了直观图，并利用数学符号加以表示。）

师：看来，这个猜想是正确的！

（大部分学生表示赞同，有少部分同学持怀疑态度。）

师：请同学们再想想，平面几何中还有哪些结论？

生10：在平面几何中，如果两直线都垂直于同一直线，那么这两直线互相平行。

师：好！那么请同学们研究，这个事实在空间中是否依然成立。

（学生进行紧张的思考，并进行探索，互相之间交流。）

（还是那位提出猜想的同学率先找到了答案。）

生6：我的猜想是错误的，如果两直线都垂直于同一直线，那么这两直线互相平行。这个结论在空间中是不成立的。比如。。。。。。（摆出模型，发现有平行、相交、异面三种可能。）

（其他同学表示赞同。）

师：非常好！尽管猜想是错误的，但是这种思考问题的方式是科学的！也是我们努力学习的。通过类比平面几何知识，来猜测空间中的结论，再去操作确认，是学习立体几何的主要方法。

师：受时间限制，今天我们就探索到这里。（学生发出叹息声，看来已经沉醉在探索中了。）今天我们通过回忆平面几何的相关知识，来研究了空间中两直线的位置关系。同学们表现很好。希望在今后的学习中不断完善这种学习方式，谢谢大家，下课！

诗人华罗庚

初中的时候，读过华罗庚写的一本小册子《从孙子的“神奇妙算”谈起》，书中，华老用他的一首诗作序：

神奇妙算古名词，

师承前人沿用之，

神奇化易是坦道，

易化神奇不足提。

妙算还从拙中来，

寓公智叟两分开，

积久方显寓公智，

发白才知智叟呆。

埋头苦干是第一，

熟练生出百巧来，

勤能补拙是良训，

一分勤劳一分才。

华老是举世闻名的大数学家，他的文学修养很高。一生写了许多诗词，华老的诗通俗易懂，朗朗上口。

1946年，华老应邀去苏联，途中受阻，请求当时国府驻外机构帮忙，遭拒绝！华老写诗表达愤慨：

我欲高飞云满天，

我欲远走冰寒川，

拔剑四顾茫然起，

锋芒直指霄汉间！

当年在西南联大，条件艰苦，华罗庚与闻一多两家人同挤一室，中间用布帘隔开。有华老诗一首佐证：

                   排布分屋共容膝，

                   岂止两家共坎坷？

                   布东考古布西算，

                   专业不同心同仇！

后来闻一多先生遇难，时值华罗庚在上海，悲愤写道：

                   乌云低垂泊清波，

                   红烛光芒射斗牛，

                   宁沪道上闻噩耗，

                   魔掌竟敢杀一多！

60年代，华罗庚在《中国青年报》上写诗鼓励青年人刻苦学习：

                   发愤早为好，

                   苟晚休嫌迟，

                   最忌不努力，

                   一生都无知！

   社会主义建设时期，华罗庚先生致力与推广统筹法和优选法，经常深入农村工厂，写诗表达当时的心情：

                   向来城市里，

                   今来大地边。

                   东风勤拂拭，

                   绿满万顷田。

                   规划处处用，

                   数学入田间。

                   移植谁之力？

                   靠当非靠天！

   有人批评华老搞“双法”推广是“不物正业”，是大材小用，浪费生命。华罗庚写诗回答：

                   杜甫有诗古柏竹，他为大树鸣不平，

                   我今为之转一语，此树幸得到门庭，

                   苗长易遭牛羊践，材成难免斧锯侵，

                   怎得参天三千尺，端赖丞相遗爱深，

                   树大难用似不妥，大可分小诸器成，

                   小材充大倾楼宇，大则误国小误身，

                   为人休怪做小事，小善原是大善根，

                   自负树大不小就，浮薄轻夸负此身。

华罗庚先生一生追求真理要求进步，终于与1979年6月13日加入中国共产党，填词一首表达自己高兴心情：

            破阵子·奉答邓大姐

                   五十年来心愿，

                   三万里外佳音，

                   沧海不捐一滴水

                   洪炉陶冶砂成金，

                   四化作尖兵。

                   老同志，深愧怍，

                   新党员，幸勉称，

                   横刀那顾头颅白，

                   跃马紧傍轻壮人，

                   不负党员名。

华罗庚五十年代归国，80年代再度访问美国，在那里遇见诸位同学朋友。

                   三十年前归祖国，

                   而今又来访美人，

                   十年浩劫待恢复，

                   为学借鉴别燕京。

                   愿化飞絮被天下，

                   骑甘垂貂温吾身，

                   一息尚存仍需学，

                   寸知片识献人民。

1982年，华罗庚患心肌梗塞住院，但他渴望工作。

                   即使能活一百年，

                                      36524日而已。

　 日前，来自美国的婚姻研究者和应用数学家宣布，他们创造了一个数学模型，可以用来准确预测哪些夫妻将不能白头偕老。他们还表示，这套模型可以帮助夫妻克服那些可能使他们走上离婚之路的行为。据公式的设计者称，这套公式的准确率高达94％。

　 “当牛顿把数学方法引入科学，物理学才真正起飞”，华盛顿大学心理学教授和人际关系研究所主任约翰·戈特曼说，“而心理学研究中，数学的方法往往被忽视。”

　 华盛顿大学应用数学系教授詹姆斯·穆雷说，我们做的是提取婚姻中的关键因素到模型中，以使它具有解释性和预测性，“虽然我们使用的数学方法非常普通，但是模型出奇地准确”。截至目前，这套数学模型已经对700多对夫妇的婚姻持久性进行了检验。这些夫妇最初登记结婚时，研究人员利用这套数学模型判断他们今后是否会离婚，判断正确率高达94％。

　 这个模型使用的数据来自戈特曼教授在他实验室里拍摄的数百位夫妻谈话的录影带。生理学上的数据，例如谈话停顿的时间，也被收集起来进行分析。

　 穆雷说，因为从交谈中能够显示出夫妻之间存在的根本性问题，这也是这个模型准确性高的原因。“在这个模型之前，其他关于离婚的预测往往是不准确的，我们也没有办法来分析为什么有些婚姻能长时间保持而有些夫妻却要走向离婚”。

　 他说，模型的关键在于把夫妻谈话过程中积极的和消极的相互影响的比例进行量化，这个神奇的比例是5∶1，如果比例小于它，婚姻就会遇到问题。

　 “当幸福家庭中的夫妻双方谈论一些重要的事情时，即使是在争论，他们也会笑和开玩笑，这就是感情的标志，因为他们在进行一些情感上的交流。”戈特曼说，“但是许多夫妻不知道去传递或者创造幽默感，这意味着许多夫妻忙于相互斗争而无暇顾及情感的交流。在这个数学模型出现之前，我们不知道这些。”

　 穆雷说，当一对夫妇接受测试时，需要就某个话题如性爱、金钱等进行15分钟的对话。研究人员根据对话的细节进行打分，比如说，当一方将另一方逗乐时，可以得正两分，而一方表示出对另一方的轻蔑时，将得到负4分。研究人员将每个细节的分数输入表格中，然后“像计算道琼斯工业指数一样”算出婚姻指数。

　 他说，这种数学方法是如此清晰，而且它能够生动地显现出两个谈话的人之间发生了什么。它也能够使研究者判断出，如果婚姻中的某些习惯发生改变，夫妻间将会怎么样。例如，如果一个丈夫承认自己被他妻子影响，这个正面相互作用的数字就会增长。

　 穆雷认为，这套数学模型不仅可以用来推测婚姻的持续性，还有助于夫妻双方早日发现婚姻中存在的问题，改善婚姻质量。（转自２１世纪数学网）

   数学史、数学文化选读

——序言

记得上世纪中叶，对于大多数人不知数学的存在，或对数学学科只知其一、不知其二，数学家哈尔莫斯（P. R.Halmos）曾叹息道：“甚至受过教育的人们都不知我的学科的存在，这使我感到伤心！有些东西他们名之曰数学，但他们既不知专家们怎样使用这个名词，甚至也不知为什么大家都要学习它”。今天，数学这一名词早已家喻户晓，数学也是时时处处，不可或缺了。但是，像哈尔莫斯这样的数学家是否就可以舒心一笑呢？数学教师们不妨扪心自问，我们的数学教育是否做到“上传数学、下达课堂”？我们的课堂内外究竟多大程度地传承着数学的内在精神？听听学生们谈论刚升入高中的数学感受，答案也就自明了。一部分学生自信地表白：数学教会了我计算和算计；数学培养了我思维灵巧而敏捷；数学帮助我解决现实中的燃眉之急；数学令我金榜题名，飞黄腾达；数学使我日进万金、发家致富。一部分学生无奈地发泄：数学令我百思不解，处处碰壁，我恐惧！数学枯燥乏味，艰涩难明，让我如坠十里云烟而不知所措，我讨厌！数学使我一落千丈，丢尽脸面，我憎恨！数学存在了，存在于这一颗颗清澈晶莹，天真烂漫的心灵里，而且滋生出这般强烈的自私与狭隘、功利与势利、愤懑与仇怨！难道这就是数学的精神力量？！

新课程理念下的教育教学试验，给了我们为数学正名的机会。本读本拟从数千年的数学历史发展长河中，结合课程教学，选编一系列能够体现数学内在精神的生动素材，并适当探幽发微，作为供中学生游玩嬉戏、松弛精神的朵朵浪花，或荡涤他们灵魂、滋润他们心田的涓涓溪流。如能因此拯救那一颗颗曾被“坏”数学所伤害的心灵，重新唤起他们以一颗纯净的心投入到对数学至真至善的理想的不懈追求中来，则正是编者蒙昧以求的。

数学是“善”，数学是“使灵魂从暂存过渡到理想和永存的捷径”。这是两千三百多年前著名学者柏拉图面对包括亚里士多德和色诺芬在内的听众所做著名演讲的观点。数学的本质在于对真理的探求，对美的理想的追求，其中容不得任何微不足道的“恶”，对于这种重要性的无知，曾被柏拉图形容为“猪一般”的无知！因此，数学之“善”比之宗教之“善”更为纯净和超脱。我们的选材始终以数学善的标准决定取舍。

数学是一种文化——看不见的文化，数学文化的发展，代表着先进文化发展的方向。数学的文化功能正是数学善的体现，数学的善净化提升人类的心智，潜移默化人类的世界观、人生观，和谐人类的活动空间，引领我们实现从现实世界到理想彼岸的跨越。我们的选材更看重那些能使我们读后神清气爽、心胸豁然开朗、善念油然而生的文字。下面我们以几段数学先贤们振聋发聩的警句作为序言的结束。

所以说，数学就是这样一种东西：她提醒你有无形的灵魂；她赋予她所发现的真理以生命；她唤起心神，澄清智慧；她给我们的内心思想增添光辉；她涤尽我们有生以来的无知与蒙昧。

                ——Procluc

哪里有数，哪里就有美。

                ——Procluc

对外部世界进行研究的主要目的在于发现上帝赋予它的合理次序与和谐，而这些是上帝以数学语言透露给我们的。

                ——J.kepler

数学能唤起热情而抑制急躁，净化灵魂而使之杜绝偏见与错误。恶习乃是错误、混乱和虚伪的根源，所有的真理都与此抗衡。而数学真理更有益于青年人摒弃恶习。

                ——Arbuthnot  John

数学，如果正确地看待它，则不但拥有真理，而且还具有至高无上的美，这是一种雕塑式的冷而严肃的美，这种美既不投合人类之天性的微弱方面，也不具有绘画或音乐的那种华丽的装饰，而是一种纯净而崇高的美，以致能够达到一种只有伟大的艺术才能显现的那种完美的境地。

                ——Russell

没有数学，我们无法看透哲学的深度，没有哲学，人们也无法看透数学的深度；而若没有两者，人们就什么也看不透。

                ——B.Demollins

数学甚至现代数学也是处于婴儿时期的一门科学。如果文明继续发展，那么在今后两千年，人类思想中压倒一切的新特点就是数学悟性要占统治地位。

                ——A. N. Whitehead

在叙述数学的进展时，

我既觉得兴致勃勃，

又有局促不安的感觉，

因为数学中幻想的成分太多，

在人类的智力攀登中，

数学不但是理性的阶梯，

也是神秘思想的阶梯。

——J. Bronowski

分形几何

从UCSMP教材内容引发的思考

北京师范大学 钱珮玲

　　美国芝加哥大学数学课程设计(简称UCSMP)第四册高中代数中，第14章“维数和空间”最后一节的内容是“分形”(Fractals)，它用8页篇幅，介绍了分形的创始人曼德勃罗 (Benoit B. Mandelborot)的简单生平；举了几个例子，说明什么是分形，以及分形的结构特征；然后从英国海岸线的测量问题引出分维(分数维数)概念，并指出分维是分形的一种量化特征；最后是几个问题和思考题[1]．

　　分形是本世纪70年代以来发展起来的研究复杂性的新方法，UCSMP把这一新知识给中学生作了初步介绍．此外，编者把这一内容安排在“维数和空间”这一章的最后，显然是作为传统几何内容的一种延伸、补充和发展．书中对创始人坎坷生平的简介，生动、形象的海岸线测量问题，以及几个典型的例子加上漂亮的插图，都能深深打动学生的心，激发学生的求知欲和研究问题的探索精神．

　　当然，书中对分形的介绍是极简单、最初步的．在中学教材中也只能作这样的处理，其目的是让中学生了解在大自然中有许多形状，它们的有关问题(如：海岸线的测量问题)是经典几何与传统数学方法所无法解决的．应该说，UCSMP在非传统内容(即现代数学)方面的这种大胆处理对我们是一个很好的启示．

　　联想去年11月在我系举行的一次关于新“高中教学教学大纲”(国家教委基础教育司编订，1996年5月人民教育出版社出版的全日制普通高级中学数学教学大纲)研讨会上提出的一个问题：在中学数学教材中如何处理好传统内容与非传统内容(即现代数学内容)的关系，以及方明一在[2]中对我国高中数学课程的现状分析与新“高中数学教学大纲”的简介，都说明教材内容的选择(或课程的改革)一直是教学改革中的一个核心问题．毫无疑问，内容的选择必须考虑学科的科学性、系统性，和中学生的认知水平，因此，传统内容在教材中应起着基础的作用，斯托利亚尔也曾指出：“数学教育现代化，首先的意思是数学的思想接近于现代数学，即把中学数学建立在现代数学的思想基础上，并且使用现代数学的方法和语言”．“只有不多的中学课程的传统内容可以从大纲中删去，只有很不多的现代数学可以加进大纲”．但是，时至今日，数学科学、科学技术、以及教育技术的迅速发展，使得课程面临许多新问题，丁尔陞在[3]中曾提出了面向新世纪数学课程设计的若干问题，方明一在[2]中指出了我国高中数学课程存在着内容陈旧、知识面过窄、课程结构单一等问题．因此我们必须思考、探索如何去解决这些问题．例如：

　　 (1)我国数学课程改革在取得以往成绩的基础上，如何更好地使用现代数学的思想和语言，把中学数学建立在现代数学的思想基础上，能否更加突出集合论思想方法的主线，能否将逻辑的有关知识和运用渗透得更多些．以更好地沟通初、高等数学，更好地提高学生的思维品质和数学素养．

　　 (2)怎样更好地处理好知识层次结构和深广度的问题，比如在要求和内容上，能否区分两种要求和内容，一种是传统的要求和内容，一种是拓宽知识面、作为了解的要求和内容．前者的目的是继承发扬我国数学课程使中学生具有扎实的数学基本功、较好的整体水平等优点，后者的目的是让中学生更好地感受数学发展的“源”和“流”，使他们不仅知道初等数学的背景，也向他们适当介绍初等数学发展的过程．使他们了解新的发展状况和发展趋势，从而更全面地理解数学，懂得数学的价值，激发他们的学习兴趣，让更多的人喜欢教学，这对发展数学是有积极意义的(关于计算器、计算机使用等其它问题．我们将另外讨论)

　　以上是从UCSMP教材内容引起的思考，下面我们按该教材第四册第十四章§8的框架，简单介绍分形的有关知识．

　　回忆传统几何的研究对象，都以简单、规则的几何形状为其研究对象．

　　初等平面几何的主要研究对象是三角形、多边形、圆(实质上是直线和圆)

　　平面解析几何的主要研究对象是一次曲线和二次曲线；

　　微分几何的主要研究对象是光滑曲线和曲面；

　　代数几何的主要研究对象是复空间中的代数曲线．

　　然而，自然界还有这样一类事物：诸如连绵的山峰，蜿蜒的河流，曲折的海岸线，材料的裂纹，等等．它们的共同特征是极不规则，极不光滑．传统的几何学和数学方法已无法处理这些事物的有关问题．

　　 1.1 海岸线的测量问题

　　关于“某一段海岸线有多长”这一问题，初看起来，似乎是一个很简单的问题，但要明确回答，极不容易．这一问题是1967年分形的创始人曼德勃罗在美国《科学》杂志上提出的，他提的是：“英国的海岸线有多长？”他最初是在英国科学家理查逊的一篇鲜为人知的文章中遇到海岸线问题的．理查逊曾探索过大量关于自然界复杂现象的问题，并对海岸线和国境线的测量问题感到怀疑，他核查了西班牙、葡萄牙、比利时和荷兰的百科全书，发现这些国家对他们共同边界长度的估计相差竞达20%！曼德勃罗对这个问题发生兴趣，并进行了分析研究，提出“英国海岸线有多长”的问题，他对此问题的回答是：海岸线的长度是不确定的！海岸线的长度取决于测量时所用的尺度．为什么是这样呢？

　　设想测量员用两脚规，把它张成一定的长度，例如r₁，然后沿着海岸线，一步一步地测量，所得数为N_r1．则海岸线在这一尺度下的近似长度为l₁=N_r1×r₁，说“近似”，是出为测量时忽略了小于r₁的那些些曲曲弯弯的曲线．见图1．

　　如果把两脚规张成较r₁小的长度，比如r₂(r₂＜r₁)．再沿着海岸线一步一步地测量，所得数为N_r2．则海岸线在该尺度下的近似长度为l₂=N_r2×r₂，“近似”理由同上，此时，那些小于r₂的弯弯曲曲的海岸线仍被忽略了，……如此下去，会得到关于海岸线长度的一系列不同结果：l₁，l₂，…，l_n，…，并且显然有l₁＜l₂＜…＜lx_n＜…．于是便产生了以下问题：海岸线长度(欧氏几何中的传统长度概念)是无穷？不能精确测量？如何解决这一问题？显然，传统的几何方法和计算已不适合这类不规则曲线(或图形)了．

　　曼德勃罗的研究结果是：虽然海岸线长度不能测量，但它却具有某种特征性的“粗糙度”，在给出构造图形的某种技巧或给出某些数据后，可计算出它的“维数”，从而解决了海岸线的测量问题，使得用传统方法测量时，在不同尺度下不规则的程度保持不变，即通过计算“维数”的方法，去刻划一类事物的不规则性．这里的“维数”，粗略地说，是对一个集合允满空间程度的一种描述(在下面的内容中我们将进一步说明之)．

　　由于海水的长期冲击，使得海岸线具有极其复杂、极不规则的特性．类比欧氏几何中对点、线、面的抽象方法，用抽象的理想化的词来描述海岸线的这种不规则性，就是具有局部形态与整体形态的相似性，或自相似性．为了更好地认识这类图形的自相似特性，我们介绍几个典型的例子，它们是从一个正常的几何图形出发，按照一定的规则，通过无穷次几何变换而形成的，它们的性质与通常几何图形的性质不同，因此，相对于正常图形，称之为“病态”几何图形，或几何分形．

　　例1 谢尔宾斯基垫片．

　　谢尔宾斯基，在本世纪初(1915－1916)提出了一些“病态”图形，包括谢尔宾斯基“垫片”、“地毯”、“海绵”．

　　“垫片”图形是这样形成的：将一个正三角形等分为四个小正三角形，去掉中间的那个，见图2(B)．再将余下的三个正三角形各自等分为四个小正三角形，并各自去掉中间的一个，见图2(C)．再按同样方法处理，如此无限地继续下去，所得到的图形像似一个三角形垫片，称之为谢尔宾斯基“垫片”，它具有自相似的特性．

　　从正方形出发，将其等分为9个小正方形，去掉中间的那个．将剩下的8个小正方形各自等分为9个小正方形，并各自去掉中间的那个．如此无限地继续下去，所得的图形像似“地毯”，称之为谢尔宾斯基“地毯”见图3．

　　用类似的方法，可从正方体出发，形成“海绵”，详见[4]．

　　 例2 科契雪花曲线．

　　科契曲线是由瑞典数学家科契设计的一类“妖魔”曲线，这类曲线的特点是处处连续，但处处不光滑，因而对这类曲线感到不解和难以掌握，故称之为“妖魔”曲线．

　　这类曲线也是从一个普通的图形出发，按一定规律进行无穷多次演变而形成的．一般从一条线段或一个多边形出发，称之为源多边形，其演变规律是将源多边形中的直线段(比如源多边形的各边)用折线来取代，此折线称为生成元，源多边形和生成元一旦确定，分形也就确定了．

　　科契雪花曲线是最简单的科契曲线，它的源多边形是正三角形，见图4(A)，生成元如图4(B)所示．

　　演变过程为：首先将正三角形各边按生成元变形，见图5(B)．再将所得六角形各边按生成元变形，见图5(C)．如此无限地继续下去，形成的图形就是一种科契曲线，由于它的形状很像雪花的外沿线，故称之为科契雪花曲线．

　　用类似的方法，从正方形出发，可得科契岛边界曲线，详见[4]．

　　 例3 康托尔集合．

　　取一条线段，将它三等分，去掉中间那段，余下左右两段．对余下的两段各自三等分，并去掉中间那段，得到四个线段．如此无限地继续下去，所得小段的数目越来越多，长度越来越小，假设开始所取线段为闭区间[0，1]，并记

　　综上可知，谢尔宾斯基“垫片”、“地毯”“海绵”，科契雪花曲线，康托尔集等几何图形，还有我们熟悉的皮亚诺曲线，它们的结构有一个共同的特征—自相似性．也即具有局部形态与整体形态的相似性．形象地说，就是当我们用任何倍数的显微镜去观察任一局部，都与整体有相似的形态．我们把这类几何图形叫做几何分形或正规分形．

　　对于大自然中的许多事物，如前面提到的弯弯曲曲的海岸线、起伏不平的山峰轮廓、材料的裂纹、还有布朗粒子运动的轨迹，等等，我们也说它们有自相似性，它们的自相似性是通过大量统计而抽象出来的，例如．当我们乘座飞机俯瞰海岸线时，会发现在不同高度上观察到的海岸线形状是大致相同的，即海岸线的曲折、复杂程度相近，因此我们说海岸线有自相似性，是一种分形．这与自然界并不存在真正的点、线、面是一个道理．为区别于前面的正规分形，通常称之为无规分形．它们都是分形几何研究的对象．

　　由于分形几何是研究自然界中一类复杂事物的方法．因此尽管发展时间不长，但已广泛应用于物理、化学、生物、地学、材料等各个领域[4]，[5]．

　　下面我们给出分形的定量表征—分维的概念．

　　分形的自相似性使其内部结构不存在特征长度，也就是说，人们已不能象对待普通物体所习惯的那样，通过通常的度量，用长度或重量或体积等参数去刻划分形的特征．

　　针对分形具有自相似性的结构特征，经过科学家们的潜心研究，发现“维数”可以用来作为分形的定量表征．因为“维数”给出了“一个集充满空间”程度的描述．分形的自相似性使得任一局部“充满空间”的程度与整体都是一样的．于是，分维成为描述分形的定量表征，分维又称分形维数或分数维，在一般情况下是一个分数(可以是整数，也可以是非整数)．

　　可以用多种方法定义集合的维数[4][5]，我们这里介绍以Caratheodory构造为基础的豪斯道夫维数，并用归纳方法较为直观地介绍之，其严格的数学定义可参见[5]．

　　按通常的概念：直线为一维欧氏空间，平面为二维欧氏空间，现实的立体空间为三维欧氏空间．为方便起见，我们将自然界中客观存在的物体和现象以及几何图形等统称为客体．于是，可以认为，在自然界中存在着零维(点)、一维(直线)、二维(平面)客体．下面我们对客体的维数进行拓广．

　　设有一条一维的线段，其长度为L，现用“半径为r”的线段(即长度为2r的线段)作单位去量度，即测量在L中有多少个长度为2r的线段．假定度量的结果为N，因N与r有关，故记作N(r)，则有

　　即在长度为L的一维直线段中包含有N(r)个“半径”为r的单位线段．

　　对于一个二维的圆面，设其面积为S，现用半径为r的圆面积作单位去量度，量度结果为N(r)，则有

　　即在面积为S的二维圆面中含有N(r)个半径为r的单位圆面．

　　对于一个三维的球，设其体积为V，并用半径为r的球体积作为单位去量度，所得结果为N(r)，则有

　　即在体积为V的三维球体中有N(r)个半径为r的单位球体．

　　归纳以上一、二、三维的情况，可以对维数作出以下新的定义：

　　对于一个客体，如果度量其“容积”的单位半径为r，用该单位量度的结果N(r)满足以下关系：

　　其中c为不依赖于r的常数，则该客体的维数为D^f，称之为豪斯道夫维数．

　　由上可知，D^f维客体的“容积”与r^f-D成正比，只要能从(1)式求出其中的方次，就能确定该客体的豪斯道夫维数．但直接用(1)计算有时不太方便，为此我们进一步作如下分析：

　　正方形是二维的，若将其每边长度增至原来的L倍，得到K倍于原正方形的新正方形，则有以下关系成立：

　　 K=L²=L^D(D=2) (2)

　　同理，若将三维立方体的每边长度增至原来的L倍，得到K倍于原立方体的新立方体，则有

　　 K=L³=L^D(D=3) (3)

　　对于一维直线段有关系

　　 K=L=L^D(D=1) (4)

　　进而将一、二、三维的情形拓广之，即对于某客体，如沿其每个独立方向皆扩大L倍，则得到k倍于原客体的新客体，该客体的维数D_f可由

K=L^Df

　　得到，于是有

　　应指出的是，(1)式与(5)式是一致的．详见[4]．

　　例：计算康托尔集的豪斯道夫维数D_f．

　　设康托尔集的源多边形和生成元分别为图6中的(A)，(B)．由于每个线段都将进行无限的分割和舍弃，都将具有精细的自相似结构，所以不妨取图6(B)中左端的线段作为原客体，沿其独立方向(此时就是长度方向)扩大三倍(即L=3)，就变成了图6(A)，将(A)三等分，并去掉中间部分，得到2倍于原客体的新客体(即K=2)，故康托尔的豪斯道夫维数为

　　用类似的方法可以算出谢尔宾斯基“垫片”，“地毯”的豪斯道夫维数分别为

　　联系它们的形状，不难体会分维数确实反映了“集合充满空间”的程度，用它来“度量”具有自相似性结构的分形，作为分形的定量表征是恰当的．

　　关于分形的定义，尚未形成共识，曼德勃罗、泰勒(Taylor. S. J)等人都曾给出过有关定义，但都有不足之处[5]，正在进一步探索之中．

　　以上我们参考UCSMP教材的框架，简单介绍了分形几何最初步的知识．分形几何自开创以来，一直受到物理、数学、化学、生物、医学、地学、材料，以及社会学、音乐等各个领域科学家的热切关注，成为80年代“热门”科学之一，美国物理学家惠勒(Wheeler. J. A)曾说过这样的话：可以相信，明天谁不能熟悉分形，谁就不能被认为是科学上的文化人．分形几何的理论和应用正在不断发展和完善之中．

　　 1 UCSMP教材第四册．

　　 2 方明一．我国高中数学课程的现状与新“数学教学大纲”简介．数学通报，1996，6、7．

　　 3 丁尔陞．再谈面向新世纪的数学课程．数学通报，1994，2、3．

　　 4 李后强、程光钺．分形与分维．四川教育出版社，1990．

　　 5 Kenneth J. Falconer著，曾文曲、刘世耀译，分形几何—数学基础及其应用、东北工学院出版社，1991．

分形──真实还是想象

　　多少世纪以来，人们总是用欧几里得几何的对象和概念（诸如点、线、平面、空间、正方形、圆、）来描述我们这个生存的世界。而非欧几何的发现，引进了描画宇宙现象的新的对象。分形就是这样一种对象。

　　分形的思想初见于公元1875至1925年数学家们的著作。这些对象被贴上畸形怪物的标签，人们深信它没有丝毫的科学价值。它就是今天人们众所周知的分形。分形一词是曼德勃罗于1975年创造的，曼德勃罗在该领域有着广泛的发现。

　　雪花曲线是一个分形的例子，它是在现有等边三角形的边上加上等边三角形而形成的。从严格意义上讲，分形是这样一种对象，将其细微部分放大后，其结构看起来仍与原先的一样。这与圆形成了鲜明的对比，把圆的一部分放大后变得比较平直。分形可分为两类：一是几何分形，它不断地重复同一种花样图案；另一种分形是随机分形。计算机和计算机绘图能够把这些“畸形怪物”可靠地带回到生活中，在计算机的屏幕上，几乎能够立即产生分形，并显示出它们奇妙的形状、艺术图案或细微的景观。

　　可能有人感到，只有欧几里得几何的正规形状才能应用在科学中，然而上述新的形式却从不同的透视角度向我们提供了认识自然的观点。分形是一个新的数学领域──有时也把它归为自然界的几何，因为这些奇异而混沌的形状，不仅描绘了诸如地震、数、树枝、生姜根、海岸线等自然现象，而且在天文、经济、气象、电影制片等方面也有广泛应用。

点击欣赏了解科克雪花的构造过程http://jlzx.k12.com.cn/derup/page/user_mode.php/malizhong

　　俄国的车比雪夫开始建立函数逼近论，利用初等函数来逼近复杂的函数。二十世纪以来，由于电子计算机的应用，使函数逼近论有很大的发展。

　　1856年，德国的维尔斯特拉斯确立极限理论中的一致收敛性的概念。

　　1857年，德国的黎曼详细地讨论了黎曼面，把多值函数看成黎曼面上的单值函数。

　　1868年，德国的普吕克在解析几何中引进一些新的概念，提出可以用直线、平面等作为基本的空间元素。

　　1870年，挪威的李发现李群，并用以讨论微分方程的求积问题。

　　德国的克朗尼格给出了群论的公理结构，这是后来研究抽象群的出发点。

　　1872年，数学分析的“算术化”，即以有理数的集合来定义实数(德国 戴特金、康托尔、维尔斯特拉斯)。

　　德国的克莱茵发表了“埃尔朗根纲领”，把每一种几何学都看成是一种特殊变换群的不变量论。

　　1873年，法国的埃尔米特证明了e是超越数。

　　1876年，德国的维尔斯特拉斯出版《解析函数论》，把复变函数论建立在了幂级数的基础上。

　　1881～1884年，美国的吉布斯制定了向量分析。

　　1881～1886年，法国的彭加勒连续发表《微分方程所确定的积分曲线》的论文，开创微分方程定性理论。

　　1882年，德国的林德曼证明了圆周率是超越数。

　　英国的亥维赛制定运算微积，这是求解某些微分方程的简便方法，工程上常有应用。

　　1883年，德国的康托尔建立了集合论，发展了超穷基数的理论。

　　1884年，德国的弗莱格出版《数论的基础》，这是数理逻辑中量词理论的发端。

　　1887～1896年，德国的达布尔出版了四卷《曲面的一般理论的讲义》，总结了一个世纪来关于曲线和曲面的微分几何学的成就。

　　1892年，俄国的李雅普诺夫建立运动稳定性理论，这是微分方程定性理论研究的重要方面。

　　1892～1899年，法国的彭加勒创立自守函数论。

　　1895年，法国的彭加勒提出同调的概念，开创代数拓扑学。

　　1899年，德国希尔伯特的《几何学基础》出版，提出欧几里得几何学的严格公理系统，对数学的公理化思潮有很大影响。

　　瑞利等人最早提出基于统计概念的计算方法——蒙特卡诺方法的思想。二十世纪二十年代柯朗(德)、冯·诺伊曼(美)等人发展了这个方法，后在电子计算机上获得广泛应用。

公元１９００年 ～ １９６０年

　　１９００年

　　德国数学家希尔伯特，提出数学尚未解决的23个问题，引起了20世纪许多数学家的关注。

　　１９０１年

　　德国数学家希尔伯特，严格证明了狄利克莱原理，开创了变分学的直接方法，在工程技术的级拴问题中有很多应用。

　　德国数学家舒尔、弗洛伯纽斯，首先提出群的表示理论。此后，各种群的表示理论得到大量研究。

　　意大利数学家里齐、齐维塔，基本上完成张量分析，又名绝对微分学。确立了研究黎曼几何和相对论的分析工具。

　　法国数学家勒贝格，提出勒贝格测度和勒贝格积分，推广了长度、面积积分的概念。

　　１９０３年

　　英国数学家贝·罗素，发现集合论中的罗素悖论，引发第三次数学危机。

　　瑞典数学家弗列特荷姆，建立线性积分方程的基本理论，是解决数学物理问题的数学工具，并为建立泛函分析作出了准备。

　　１９０６年

　　意大利数学家赛维里，总结了古典代数几何学的研究。

　　法国数学家弗勒锡、匈牙利数学家里斯，把由函数组成的无限集合作为研究对象，引入函数空间的概念，并开始形成希尔伯特空间。这是泛函分析的发源。

　　德国数学家哈尔托格斯，开始系统研究多个自变量的复变函数理论。

　　俄国数学家马尔可夫，首次提出“马尔可夫链”的数学模型。

　　１９０７年

　　德国数学家寇贝，证明复变函数论的一个基本原理——黎曼共形映照定理。

　　美籍荷兰数学家布劳威尔，反对在数学中使用排中律，提出直观主义数学。

　　１９０８年

　　德国数学家金弗里斯，建立点集拓扑学。

　　德国数学家策麦罗，提出集合论的公理化系统。

　　１９０９年

　　德国数学家希尔伯特，解决了数论中著名的华林问题。

　　１９１０年

　　德国数学家施坦尼茨，总结了19世纪末20世纪初的各种代数系统，如群、代数、域等的研究，开创了现代抽象代数。

　　美籍荷兰数学家路·布劳威尔，发现不动点原理，后来又发现了维数定理、单纯形逼近法、使代数拓扑成为系统理论。

　　英国数学家背·罗素、卡·施瓦兹西德，出版《数学原理》三卷，企图把数学归纳到形式逻辑中去，是现代逻辑主义的代表著作。

　　１９１３年

　　法国的厄·加当和德国的韦耳完成了半单纯李代数有限维表示理论，奠定了李群表示理论的基础。这在量子力学和基本粒子理论中有重要应用。

　　德国的韦耳研究黎曼面，初步产生了复流形的概念。

　　１９１４年

　　德国的豪斯道夫提出拓扑空间的公理系统，为一般拓扑学建立了基础。

　　１９１５年

　　瑞士美籍德国人爱因斯坦和德国的卡·施瓦茨西德把黎曼几何用于广义相对论，解出球对称的场方程，从而可以计算水星近日点的移动等问题。

　　１９１８年

　　英国的哈台、立笃武特应用复变函数论方法来研究数论，建立解析数论。

　　丹麦的爱尔兰为改进自动电话交换台的设计，提出排队论的数学理论。

　　希尔伯特空间理论的形成(匈牙利 里斯)。

　　１９１９年

　　德国的亨赛尔建立P-adic数论，这在代数数论和代数几何中有重要用。

　　１９２２年

　　德国的希尔伯特提出数学要彻底形式化的主张，创立数学基础中的形式主义体系和证明论。

　　１９２３年

　　法国的厄·加当提出一般联络的微分几何学，将克莱因和黎曼的几何学观点统一起来，是纤维丛概念的发端。

　　法国的阿达玛提出偏微分方程适定性，解决二阶双曲型方程的柯西问题()。

　　波兰的巴拿哈提出更广泛的一类函数空间——巴拿哈空间的理论()。

　　美国的诺·维纳提出无限维空间的一种测度——维纳测度，这对概率论和泛函分析有一定作用。

　　１９２５年

　　丹麦的哈·波尔创立概周期函数。

　　英国的费希尔以生物、医学试验为背景，开创了“试验设计”(数理统计的一个分支)，也确立了统计推断的基本方法。

　　１９２６年

　　德国的纳脱大体上完成对近世代数有重大影响的理想理论。

　　１９２７年

　　美国的毕尔霍夫建立动力系统的系统理论，这是微分方程定性理论的一个重要方面。

　　１９２８年

　　美籍德国人 理·柯朗提出解偏微分方程的差分方法。

　　美国的哈特莱首次提出通信中的信息量概念。

　　德国的格罗许、芬兰的阿尔福斯、苏联的拉甫连捷夫提出拟似共形映照理论，这在工程技术上有一定应用。

　　１９３０年

　　美国的毕尔霍夫建立格论，这是代数学的重要分支，对射影几何、点集论及泛函分析都有应用。

　　美籍匈牙利人冯·诺伊曼提出自伴算子谱分析理论并应用于量子力学。

　　１９３１年

　　瑞士的德拉姆发现多维流形上的微分型和流形的上同调性质的关系，给拓扑学以分析工具。

　　奥地利的哥德尔证明了公理化数学体系的不完备性。

　　苏联的柯尔莫哥洛夫和美国的费勒发展了马尔可夫过程理论。

　　１９３２年

　　法国的亨·嘉当解决多元复变函数论的一些基本问题。

　　美国的毕尔霍夫、美籍匈牙利人冯·诺伊曼建立各态历经的数学理论。

　　法国的赫尔勃兰特、奥地利的哥德尔、美国的克林建立递归函数理论，这是数理逻辑的一个分支，在自动机和算法语言中有重要应用。

　　１９３３年

　　匈牙利的奥·哈尔提出拓扑群的不变测度概念。

　　苏联的柯尔莫哥洛夫提出概率论的公理化体系。

　　美国的诺·维纳、丕莱制订复平面上的傅立叶变式理论。

　　１９３４年

　　美国的莫尔斯创建大范围变分学的理论，为微分几何和微分拓扑提供了有效工具。

　　美国的道格拉斯等解决极小曲面的基本问题——普拉多问题，即求通过给定边界而面积为最小的曲面。

　　苏联的辛钦提出平稳过程理论。

　　１９３５年

　　波兰的霍勒维奇等在拓扑学中引入同伦群，成为代数拓扑和微分拓扑的重要工具。

　　法国的龚贝尔开始研究产品使用寿命和可靠性的数学理论。

　　１９３６年

　　德国寇尼克系统地提出与研究图的理论，美国的贝尔治等对图的理论有很大的发展。50年代以后，由于在博弈论、规划论、信息论等方面的发展，而得到广泛应用。

　　现代的代数几何学开始形成。(荷兰 范德凡尔登，法国外耳，美国查里斯基，意大利 培·塞格勒等)

　　英国的图灵、美国的邱吉、克林等提出理想的通用计算机概念，同时建立了算法理论。

　　美籍匈牙利人 冯·诺伊曼建立算子环论，可以表达量子场论数学理论中的一些概念。

　　苏联的索波列夫提出偏微分方程中的泛函分析方法。

　　１９３７年

　　美国的怀特尼证明微分流形的嵌入定理，这是微分拓扑学的创始。

　　苏联的彼得洛夫斯基提出偏微分方程组的分类法，得出某些基本性质。

　　瑞士的克拉默开始系统研究随机过程的统计理论。

　　１９３８年

　　布尔巴基丛书《数学原本》开始出版，企图从数学公理结构出发，以非常抽象的方式叙述全部现代数学(法国 布尔巴基学派)。

　　１９４０年

　　美国的哥德尔证明连续统假说在集合论公理系中的无矛盾性。

　　英国的绍司威尔提出求数值解的松弛方法。

　　苏联的盖尔方特提出交换群调和分析的理论。

　　１９４１年

　　美国的霍奇定义了流形上的调和积分，并用于代数流形，成为研究流形同调性质的分析工具。

　　苏联的谢·伯恩斯坦、日本的伊藤清开始建立马尔可夫过程与随机微分方程的联系。

　　苏联的盖尔芳特创立赋范环理论，主要用于群上调和分析和算子环论。

　　１９４２年

　　美国的诺·维纳、苏联的柯尔莫哥洛夫开始研究随机过程的预测，滤过理论及其在火炮自动控制上的应用，由此产生了“统计动力学’。

　　１９４３年

　　中国的林士谔提出求代数方程数字解的林士谔方法。

　　１９４４年

　　美籍匈牙利人冯·诺伊曼等建立了对策论，即博弈论。

　　１９４５年

　　法国的许瓦茨推广了古典函数概念，创立广义函数论，对微分方程理论和泛函分析有重要作用。

　　美籍华人陈省身建立代数拓扑和微分几何的联系，推进了整体几何学的发展。

　　１９４６年

　　美国莫尔电子工程学校和宾夕法尼亚大学试制成功第一台电子计算机ENIAC。(设计者为埃克特、莫希莱等人)。

　　法国的外耳建立现代代数几何学基础。

　　中国的华罗庚发展了三角和法研究解析数论。

　　苏联的盖尔芳特、诺依玛克建立罗伦兹群的表示理论。

　　１９４７年

　　美国的埃·瓦尔特创立统计的序贯分析法。

　　１９４８年

　　英国的阿希贝造出稳态机，能在各种变化的外界条件下自行组织，以达到稳定状态。鼓吹这是人造大脑的最初雏型、机器能超过人等观点。

　　美国的诺·维纳出版《控制论》，首次使用控制论一词

　　美国的申农提出通信的数学理论。

　　美籍德国人弗里得里希斯、理·柯朗总结了非线性微分方程在流体力学方面的应用，推进了这方面的研究。

　　波兰的爱伦伯克、美国的桑·麦克伦提出范畴论，这是代数中一种抽象的理论，企图将数学统—于某些原理。

　　苏联的康脱洛维奇将泛函分析用于计算数学。

　　１９４９年

　　开始确立电子管计算机体系，通称第一代计算机。英国剑桥大学制成第一台通用电子管计算机EDSAC。

　　１９５０年

　　英国的图灵发表《计算机和智力》一文，提出机器能思维的观点。

　　美国的埃·瓦尔特提出统计决策函数的理论。

　　英国的大·杨提出解椭圆型方程的超松弛方法，这是目前电子计算机上常用的方法。

　　美国的斯丁路特、美籍华人陈省身、法国的艾勒斯曼共同提出纤维丛的理论。

　　１９５１年

　　五十年代以来，“组合数学”获得迅速发展，并应用于试验设计、规划理论、网络理论、信息编码等。(美国 霍夫曼，马·霍尔等)

　　１９５２年

　　美国的蒙哥马利等证明连续群的解析性定理(即希尔伯特第五问题)。

　　１９５３年

　　美国的基费等提出优选法，并先后发展了多种求函数极值的方法。

　　１９５５年

　　制定同调代数理论(法国 亨·加当、格洛辛狄克，波兰 爱伦伯克)。

　　美国的隆姆贝格提出求数值积分的隆姆贝方法，这是目前电子计算机上常用的一种方法。

　　瑞典的荷尔蒙特等制定线性偏微分算子的一般理论。

　　美国的拉斯福特等提出解椭圆形或双线型偏微分方程的交替方向法。

　　英国的罗思解决了代数数的有理迫近问题。

　　１９５６年

　　提出统筹方法(又名计划评审法)，是一种安排计划和组织生产的数学方法。美国杜邦公司首先采用。

　　英国的邓济希等提出线性规划的单纯形方法。

　　苏联的道洛尼钦提出解双曲型和混合型方程的积分关系法。

　　１９５７年

　　发现最优控制的变分原理(苏联 庞特里雅金)。

　　美国的贝尔曼创立动态规划理论，它是使整个生产过程达到预期最佳目的的一种数学方法。

　　美国的罗森伯拉特等以美国康纳尔实验室的“感知器”的研究为代表，开始迅速发展图象识别理论。

　　１９５８年

　　创立算法语言ALGOL(58)，后经改进又提出ALGOL(60)，ALGOL(68)等算法语言，用于电子计算机程序自动化。(欧洲GAMM小组，美国ACM小组)

　　中国科学院计算技术研究所试制成功中国第一台通用电子计算机。

　　１９５９年

　　美国国际商业机器公司制成第一台晶体管计算机“IBM 7090”，第二代计算机——半导体晶体管计算机开始迅速发展。

　　1959～1960年，伽罗华域论在编码问题上的应用，发明 BCH码。(法国 霍昆亥姆，美国 儿·玻色，印度 雷·可都利)

　　１９６０年

　　美国的卡尔门提出数字滤波理论，进一步发展了随机过程在制导系统中的应用。

数学年谱

公元前

    约公元前4000年，中国西安半坡的陶器上出现数字刻符。

　　公元前3000～前1700年，巴比伦的泥版上出现数学记载。

　　公元前2700年，中国黄帝时代传说隶首做算数之说，大挠发明了甲子。

　　公元前2500年前，据中国战国时尸佼著《尸子》记载：“古者，陲(注：传说为黄帝或尧时人)为规、矩、准、绳，使天下仿焉”。这相当于在已有“圆，方、平、直”等形的概念。

　　公元前2100年，中国夏朝出现象征吉祥的河图洛书纵横图，即为“九宫算”，这被认为是现代“组合数学”最古老的发现。

　　美索不达米亚人已有了乘法表，其中使用着六十进位制的算法。

　　公元前1900～前1600，古埃及的纸草书上出现数学记载，已有基于十进制的记数法，将乘法简化为加法的算术、分数计算法。并已有三角形及圆的面积、正方角锥体、锥台体积的度量法等。

　　公元前1950年，巴比伦人能解二个变数的一次和二次方程，已经知道“勾股定理”。

　　公元前1400年，中国殷代甲骨文卜辞记录已有十进制记数，最大数字是三万。

　　公元前1050年，在中国的西周时期，“九数”成为“国子”的必修课程之一。

　　公元前六世纪，古希腊的泰勒斯发展了初等几何学，开始证明几何命题。

　　古希腊毕达哥拉斯学派认为数是万物的本原，宇宙的组织是数及其关系的和谐体系。证明了勾股定理，发现了无理数，引起了所谓第一次数学危机。

　　印度人求出 =1.4142156。

　　公元前462年左右，意大利的埃利亚学派的芝诺等人指出了在运动和变化中的各种矛盾，提出了飞矢不动等有关时间、空间和数的芝诺悖理(古希腊 巴门尼德、芝诺等)。

　　公元前五世纪，古希腊丘斯的希波克拉底研究了以直线及圆弧形所围成的平面图形的面积，指出相似弓形的面积与其弦的平方成正比。开始把几何命题按科学方式排列。

　　公元前四世纪，古希腊的欧多克斯把比例论推广到不可通约量上，发现了“穷竭法”。开始在数学上作出以公理为依据的演绎整理。

　　古希腊德谟克利特学派用“原子法”计算面积和体积，一个线段、一个面积或一个体积被设想为由很多不可分的“原子”所组成。提出圆锥曲线，得到了三次方程式的最古老的解法。

　　古希腊的亚里士多德等建立了亚里士多德学派，开始对数学、动物学等进行了综合的研究。

　　公元前400年，中国战国时期的《墨经》中记载了一些几何学的义理。

　　公元前380年，古希腊柏拉图学派指出数学对训练思维的作用，研究正多面体、不可公度量。

　　公元前350年，古希腊梅纳克莫斯发现三种圆锥曲线，并用以解立方体问题。古希腊色诺科拉底开始编写几何学的历史。古希腊的塞马力达斯开始世界简单方程组

　　公元前335年，古希腊的欧德姆斯开始编写数学史。

　　公元前三世纪，古希腊欧几里得的《几何学原本》十三卷发表，把前人和他本人的发现系统化，确立几何学的逻辑体系，为世界上最早的公理化数学著作。

　　公元前三世纪，古希腊的阿基米德研究了曲线图形和曲面体所围成的面积、体积；研究了抛物面、双曲面、椭圆面，讨论了圆柱、圆锥和半球之关系，还研究了螺线。

　　战国时期的中国，筹算成为当时的主要计算方法；出现《庄子》、《考工记》记载中的极限概念、分数运算法、特殊角度概念及对策论的例证。

　　公元前230年，古希腊的埃拉托色尼提出素数概念，并发明了寻找素数的筛法。

　　公元前三至前二世纪，古希腊的阿波罗尼发表了八本《圆锥曲线学》，这是最早关于椭圆、抛物线和双曲线的论著。

　　公元前170年，湖北出现竹简算书《算数书》。

　　公元前150年，古希腊的希帕恰斯开始研究球面三角，奠定三角术的基础。

　　约公元前一世纪，中国的《周髀算经》发表。其中阐述了“盖天说”和四分历法，使用分数算法和开方法等。

　公元后

公元元年　～　公元１０００年

　　公元50～100年，继西汉张苍、耿寿昌删补校订之后，东汉时纂编成《九章算术》，这是中国最早的数学专著，收集了246个问题的解法。

　　公元75年，古希腊的海伦研究面积、体积计算方法、开方法，提出海伦公式。

　　一世纪左右，古希腊的梅内劳发表《球学》，其中包括球的几何学，并附有球面三角形的讨论。

　　古希腊的希隆写了关于几何学的、计算的和力学科目的百科全书。在其中的《度量论》中，以几何形式推算出三角形面积的“希隆公式”。

　　100年左右，古希腊的尼寇马克写了《算术引论》一书，此后算术开始成为独立学科。

　　150年左右，古希腊的托勒密著《数学汇编》，求出圆周率为3.14166，并提出透视投影法与球面上经纬度的讨论，这是古代坐标的示例。

　　三世纪时，古希腊的丢番都写成代数著作《算术》共十三卷，其中六卷保留至今，解出了许多定和不定方程式。

　　三世纪至四世纪，魏晋时期，中国的赵爽在《勾股圆方图注》中列出了关于直角三角形三边之间关系的命题共21条。

　　中国的刘徽发明“割圆术”，并算得圆周率为3.1416；著《海岛算经》，论述了有关测量和计算海岛的距离、高度的方法。

　　四世纪时，古希腊帕普斯的几何学著作《数学集成》问世，这是古希腊数学研究的手册。

　　约463年，中国的祖冲之算出了圆周率的近似值到第七位小数，这比西方早了一千多年。

　　466年～485年，中国三国时期的《张邱建算经》成书。

　　五世纪，印度的阿耶波多著书研究数学和天文学，其中讨论了一次不定方程式的解法、度量术和三角学等，并作正弦表。

　　550年，中国南北朝的甄鸾撰《五草算经》、《五经算经》、《算术记遗》。

　　六世纪，中国六朝时，中国的祖(日恒)提出祖氏定律：若二立体等高处的截面积相等，则二者体积相等。西方直到十七世纪才发现同一定律，称为卡瓦列利原理。

　　隋代《皇极历法》内，已用“内插法”来计算日、月的正确位置(中国 刘焯)。

　　620年，中国唐朝的王孝通著《辑古算经》，解决了大规模土方工程中提出的三次方程求正根的问题。

　　628年，印度的婆罗摩笈多研究了定方程和不定方程、四边形、圆周率、梯形和序列。给出了方程ax+by=c(a，b，c是整数)的第一个一般解。

　　656年，中国唐代李淳风等奉旨著《“十部算经”注释》，作为国子监算学馆的课本。“十部算经”指：《周髀》《九章算术》《海岛算经》《张邱建算经》《五经算术》等。

　　727年，中国唐朝开元年间，僧一行编成《大衍历》，建立了不等距的内插公式。

　　820年，阿拉伯的阿尔·花刺子模发表了《印度计数算法》，使西欧熟悉了十进位制。

　　850年，印度的摩珂毗罗提出岭的运算法则。

　　约920年，阿拉伯的阿尔·巴塔尼提出正切和余切概念，造出从0º到90º的余切表，用sine标记正弦，证明了正弦定理。

公元１０００年　～　１７００年

　　1000～1019年，中国北宋的刘益著《议古根源》，提出了“正负开方术”。

　　1050年，中国宋朝的贾宪在《黄帝九章算术细草》中，创造了开任意高次幂的“增乘开方法”，并列出了二项式定理系数表，这是现代“组合数学”的早期发现。后人所称的“杨辉三角”即指此法。

　　1086～1093年，中国宋朝的沈括在《梦溪笔谈》中提出“隙积术”和“会圆术”，开始高阶等差级数的研究。

　　1079年，阿拉伯的卡牙姆完成了一部系统研究三次方程的书《代数学》，用圆锥曲线解三次方程。

　　十一世纪，阿拉伯的阿尔·卡尔希第一次解出了二次方程的根。

　　十一世纪，埃及的阿尔·海赛姆解决了“海赛姆”问题，即要在圆的平面上两点作两条线相交于圆周上一点，并与在该点的法线成等角。

　　十二世纪，印度的拜斯迦罗著《立刺瓦提》一书，这是东方算术和计算方面的重要著作。

　　1202年，意大利的裴波那契发表《计算之书》，把印度—阿拉伯记数法介绍到西方。

　　1220年，意大利的裴波那契发表《几何学实习》一书，介绍了许多阿拉伯资料中没有的示例。

　　1247年，中国宋朝的秦九韶著《数书九章》共十八卷，推广了“增乘开方法”。书中提出的联立一次同余式的解法，比西方早五百七十余年。

　　1248年，中国宋朝的李治著《测圆海镜》十二卷，这是第一部系统论述“天元术”的著作。

　　1261年，中国宋朝的杨辉著《详解九章算法》，用“垛积术”求出几类高阶等差级数之和。

　　1274年，中国宋朝的杨辉发表《乘除通变本末》，叙述“九归”捷法，介绍了筹算乘除的各种运算法。

　　1280年，元朝《授时历》用招差法编制日月的方位表(中国 王恂、郭守敬等)。

　　十四世纪中叶前，中国开始应用珠算盘，并逐渐代替了筹算。

　　1303年，中国元朝的朱世杰著《四元玉鉴》三卷，把“天元术”推广为“四元术”。

　　1464年，德国的约·米勒在《论各种三角形》(1533年出版)中，系统地总结了三角学。

　　1489年，德国的魏德曼用“+”、“-”表示正负。

　　1494年，意大利的帕奇欧里发表《算术集成》，反映了当时所知道的关于算术、代数和三角学的知识。

　　1514年，荷兰的贺伊克用“+”、“-”作为加减运算的符号。

　　1535年，意大利的塔塔利亚发现三次方程的解法。

　　1540年，英国的雷科德用“=”表示相等。

　　1545年，意大利的卡尔达诺、费尔诺在《大法》中发表了求三次方程一般代数解的公式。

　　1550～1572年，意大利的邦别利出版《代数学》，其中引入了虚数，完全解决了三次方程的代数解问题。

　　1585年，荷兰的斯蒂文提出分数指数概念与符号；系统导入了十进制分数与十进制小数的意义、计算法及表示法。

　　1591年左右，德国的韦达在《美妙的代数》中首次使用字母表示数字系数的一般符号，推进了代数问题的一般讨论。

　　1596年，德国的雷蒂卡斯从直角三角形的边角关系上定义了6个三角函数。

　　1596～1613年，德国的奥脱、皮提斯库斯完成了六个三角函数的每间隔10秒的十五位小数表。

　　1614年，英国的耐普尔制定了对数，做出第一张对数表，只做出圆形计算尺、计算棒。

　　1615年，德国的开卜勒发表《酒桶的立体几何学》，研究了圆锥曲线旋转体的体积。

　　1635年，意大利的卡瓦列利发表《不可分连续量的几何学》，书中避免无穷小量，用不可分量制定了一种简单形式的微积分。

　　1637年，法国的笛卡尔出版《几何学》，提出了解析几何，把变量引进数学，成为“数学中的转折点”。

　　1638年，法国的费尔玛开始用微分法求极大、极小问题。

　　意大利的伽里略发表《关于两种新科学的数学证明的论说》，研究距离、速度和加速度之间的关系，提出了无穷集合的概念，这本书被认为是伽里略重要的科学成就。

　　1639年，法国的迪沙格发表了《企图研究圆锥和平面的相交所发生的事的草案》，这是近世射影几何学的早期工作。

　　1641年，法国的帕斯卡发现关于圆锥内接六边形的“帕斯卡定理”。

　　1649年，法国的帕斯卡制成帕斯卡计算器，它是近代计算机的先驱。

　　1654年，法国的帕斯卡、费尔玛研究了概率论的基础。

　　1655年，英国的瓦里斯出版《无穷算术》一书，第一次把代数学扩展到分析学。

　　1657年，荷兰的惠更斯发表了关于概率论的早期论文《论机会游戏的演算》。

　　1658年，法国的帕斯卡出版《摆线通论》，对“摆线”进行了充分的研究。

　　1665～1676年，牛顿(1665～1666年)先于莱布尼茨(1673～1676年)制定了微积分，莱布尼茨(1684～1686年)早于牛顿(1704～1736年)发表了微积分。

　　1669年，英国的牛顿、雷夫逊发明解非线性方程的牛顿—雷夫逊方法。

　　1670年，法国的费尔玛提出“费尔玛大定理”。

　　1673年，荷兰的惠更斯发表了《摆动的时钟》，其中研究了平面曲线的渐屈线和渐伸线。

　　1684年，德国的莱布尼茨发表了关于微分法的著作《关于极大极小以及切线的新方法》。

　　1686年，德国的莱布尼茨发表了关于积分法的著作。

　　1691年，瑞士的约·贝努利出版《微分学初步》，这促进了微积分在物理学和力学上的应用及研究。

　　1696年，法国的洛比达发明求不定式极限的“洛比达法则”。

　　1697年，瑞士的约·贝努利解决了一些变分问题，发现最速下降线和测地线。

公元１７０１　～　１８００年

　　1704年，英国的牛顿发表《三次曲线枚举》《利用无穷级数求曲线的面积和长度》《流数法》。

　　1711年，英国的牛顿发表《使用级数、流数等等的分析》。

　　1713年，瑞士的雅·贝努利出版了概率论的第一本著作《猜度术》。

　　1715年，英国的布·泰勒发表《增量方法及其他》。

　　1731年，法国的克雷洛出版《关于双重曲率的曲线的研究》，这是研究空间解析几何和微分几何的最初尝试。

　　1733年，英国的德·勒哈佛尔发现正态概率曲线。

　　1734年，英国的贝克莱发表《分析学者》，副标题是《致不信神的数学家》，攻击牛顿的《流数法》，引起所谓第二次数学危机。

　　1736年，英国的牛顿发表《流数法和无穷级数》。

　　1736年，瑞士的欧拉出版《力学、或解析地叙述运动的理论》，这是用分析方法发展牛顿的质点动力学的第一本著作。

　　1742年，英国的麦克劳林引进了函数的幂级数展开法。

　　1744年，瑞士的欧拉导出了变分法的欧拉方程，发现某些极小曲面。

　　1747年，法国的达朗贝尔等由弦振动的研究而开创偏微分方程论。

　　1748年，瑞士的欧拉出版了系统研究分析数学的《无穷分析概要》，这是欧拉的主要著作之一。

　　1755～1774年，瑞士的欧拉出版了《微分学》和《积分学》三卷。书中包括微分方程论和一些特殊的函数。

　　1760～1761年，法国的拉格朗日系统地研究了变分法及其在力学上的应用。

　　1767年，法国的拉格朗日发现分离代数方程实根的方法和求其近似值的方法。

　　1770～1771年，法国的拉格朗日把置换群用于代数方程式求解，这是群论的开始。

　　1772年，法国的拉格朗日给出三体问题最初的特解。

　　1788年，法国的拉格朗日出版了《解析力学》，把新发展的解析法应用于质点、刚体力学。

　　1794年，法国的勒让德出版流传很广的初等几何学课本《几何学概要》。

　　德国的高斯从研究测量误差，提出最小二乘法，于1809年发表。

　　1797年，法国的拉格朗日发表《解析函数论》，不用极限的概念而用代数方法建立微分学。

　　1799年，法国的蒙日创立画法几何学，在工程技术中应用颇多。

　　德国的高斯证明了代数学的一个基本定理：实系数代数方程必有根。

公元１８００　～　１８９９年

　　1801年，德国的高斯出版《算术研究》，开创近代数论。

　　1809年，法国的蒙日出版了微分几何学的第一本书《分析在几何学上的应用》。

　　1812年，法国的拉普拉斯出版《分析概率论》一书，这是近代概率论的先驱。

　　1816年，德国的高斯发现非欧几何，但未发表。

　　1821年，法国的柯西出版《分析教程》，用极限严格地定义了函数的连续、导数和积分，研究了无穷级数的收敛性等。

　　1822年，法国的彭色列系统研究了几何图形在投影变换下的不变性质，建立了射影几何学。

　　法国的傅立叶研究了热传导问题，发明用傅立叶级数求解偏微分方程的边值问题，在理论和应用上都有重大影响。

　　1824年，挪威的阿贝尔证明用根式求解五次方程的不可能性。

　　1826年，挪威的阿贝尔发现连续函数的级数之和并非连续函数。

　　俄国的罗巴切夫斯基和匈牙利的波约改变欧几里得几何学中的平行公理，提出非欧几何学的理论。

　　1827～1829年，德国的雅可比、挪威的阿贝尔和法国的勒阿德尔共同确立了椭圆积分与椭圆函数的理论，在物理、力学中都有应用。

　　1827年，德国的高斯建立了微分几何中关于曲面的系统理论。

　　德国的莫比乌斯出版《重心演算》，第一次引进齐次坐标。

　　1830年，捷克的波尔查诺给出一个连续而没有导数的所谓“病态”函数的例子。

　　法国的伽罗华在代数方程可否用根式求解的研究中建立群论。

　　1831年，法国的柯西发现解析函数的幂级数收敛定理。

　　德国的高斯建立了复数的代数学，用平面上的点来表示复数，破除了复数的神秘性。

　　1835年，法国的斯特姆提出确定代数方程式实根位置的方法。

　　1836年，法国的柯西证明解析系数微分方程解的存在性。

　　瑞士的史坦纳证明具有已知周长的一切封闭曲线中包围最大面积的图形一定是圆。

　　1837年，德国的狄利克莱第一次给出了三角级数的一个收敛性定理。

　　1840年，德国的狄利克莱把解析函数用于数论，并且引入了“狄利克莱”级数。

　　1841年，德国的雅可比建立了行列式的系统理论。

　　1844年，德国的格拉斯曼研究多个变元的代数系统，首次提出多维空间的概念。

　　1846年，德国的雅克比提出求实对称矩阵特征值的雅可比方法。

　　1847年，英国的布尔创立了布尔代数，在后来的电子计算机设计有重要应用。

　　1848年，德国的库莫尔研究各种数域中的因子分解问题，引进了理想数。

　　英国的斯托克斯发现函数极限的一个重要概念——一致收敛，但未能严格表述。

　　1850年，德国的黎曼给出了“黎曼积分”的定义，提出函数可积的概念。

　　1851年，德国的黎曼提出共形映照的原理，在力学、工程技术中应用颇多，但未给出证明。